Omkeersommen: waarom 7 × 8 en 8 × 7 hetzelfde zijn
Voor volwassenen is het vanzelfsprekend dat 7 keer 8 en 8 keer 7 hetzelfde antwoord hebben. Voor een kind van negen is dat het niet. En dat verschil is groot: een kind dat het niet doorheeft, leert honderd sommen, en een kind dat het wel doorheeft ongeveer de helft.
Wat een omkeersom is
Bij een keersom mag je de twee getallen omdraaien zonder dat de uitkomst verandert. 3 keer 5 en 5 keer 3 zijn allebei 15. Zulke sommenparen heten omkeersommen. Op school hoor je ook wel wisselsommen of de omwisseleigenschap.
Het geldt bij keersommen en bij plussommen, maar niet bij min en delen. 12 min 5 is iets anders dan 5 min 12, en 12 gedeeld door 3 is niet hetzelfde als 3 gedeeld door 12. Dat onderscheid moet je erbij zeggen, anders gaat je kind het overal toepassen.
Laat het zien met blokjes
Dit is bij uitstek iets om één keer echt te laten zien in plaats van uit te leggen. Leg zeven rijen van acht blokjes neer, in een net rooster.
Vraag hoeveel het er zijn: 7 keer 8. Draai daarna het hele rooster een kwartslag. Nu zijn het acht rijen van zeven. Er is geen blokje bij gekomen en er is er geen af gegaan, dus het antwoord moet hetzelfde zijn.
Kinderen onthouden dat moment jaren. Het is een van de weinige rekenregels die je letterlijk kunt omdraaien op tafel, en juist daarom blijft hij hangen.
Wat het scheelt: van honderd naar vijfenvijftig
De tafels van 1 tot en met 10 bevatten honderd sommen. Maar bij elk paar dat je omdraait, hoef je er maar één te leren.
Trek je alle omkeersommen weg, dan blijven er vijfenvijftig over. En haal je daar ook nog de tafels met een patroon vanaf, zoals die van 1, 2, 5 en 10, dan blijven er nog een stuk of zeventien echt te leren sommen over.
Dat is de reden dat de volgorde waarin je de tafels aanbiedt zoveel uitmaakt. Elke tafel die erbij komt, maakt de volgende kleiner.
Waarom kinderen het niet vanzelf zien
Een kind leert de tafels als losse rijtjes: eerst de tafel van 3, daarna die van 4. In dat hoofd zijn 3 keer 8 en 8 keer 3 twee verschillende dingen, want ze horen bij twee verschillende rijtjes.
Daar komt bij dat de betekenis verschilt. Drie groepjes van acht ziet er anders uit dan acht groepjes van drie, ook al is het totaal gelijk. Dat is precies wat je met het rooster laat zien: het is dezelfde hoeveelheid, alleen anders neergelegd.
Zeg het daarom expliciet bij elke nieuwe tafel. Bij de tafel van 8: je kent 8 keer 3 al, want dat is 3 keer 8 uit de tafel van 3.
Omkeersommen oefenen
Het gaat om herkennen, niet om uitrekenen. Korte rondjes werken daarom het best.
- Direct erachteraan. Vraag 6 keer 4, en zodra het antwoord komt meteen 4 keer 6. Laat je kind merken dat het al weet.
- Twee kaartjes, één antwoord. Schrijf de sommenparen op losse kaartjes en laat je kind ze twee aan twee bij elkaar zoeken.
- Welke ken je al? Loop bij een nieuwe tafel eerst samen langs alle sommen en laat je kind aanwijzen welke het al kent via een andere tafel.
Die laatste is de nuttigste. Het maakt de nieuwe tafel meteen kleiner en het is precies de denkstap die je wilt aanleren.
Oefen de tafels door elkaar
Bij door elkaar oefenen komen de omkeersommen vanzelf langs, en dan merkt je kind hoeveel het al kent. Gratis, zonder account.
Ook handig bij grote sommen
Omdraaien is niet alleen een leerhulp, het maakt sommen soms ook makkelijker. 25 keer 4 is lastiger te overzien dan 4 keer 25, en dat laatste is honderd.
Leer je kind dus dat het altijd mag kiezen welke kant het opgaat. Bij 3 keer 40 is het handig om aan 40 keer 3 te denken; bij 2 keer 250 aan 250 keer 2. Dat is later bij het hoofdrekenen met grote getallen een prettige vrijheid.
Bij delen werkt het net anders
Delen mag je niet omdraaien, maar er is wel een verband dat je kind kan gebruiken. Bij 42 gedeeld door 6 is de vraag: zes keer wat is 42? De deelsom is dus de keersom achterstevoren.
Zo levert één tafelsom in feite vier sommen op: 6 keer 7, 7 keer 6, 42 gedeeld door 6 en 42 gedeeld door 7. Dat is de rekenfamilie rond één trio getallen. Meer daarover staat bij deelsommen uitleggen.
Wat de school hiermee doet
In de leerlijn van SLO staat bij groep 3 en 4 dat kinderen aantallen en getallen leren structureren, onder meer met verdubbelen en halveren. De omwisseleigenschap hoort bij dat structureren: het gaat erom dat je kind getallen leert zien als iets wat je kunt herordenen.
De meeste methodes behandelen het rond de tafel van 3 of 4, zodra er genoeg tafels zijn om iets om te draaien. Vraag op school wanneer het aan de beurt komt, dan kun je het thuis op hetzelfde moment benoemen.
De controle of je kind het echt doorheeft
Vraag een som uit een tafel die je kind nog niet heeft gehad, maar waarvan de omkeersom wel bekend is. Bijvoorbeeld 9 keer 3 als de tafel van 9 nog niet is behandeld.
Zegt je kind meteen 27, dan zit het idee erin. Begint het te tellen of zegt het dat het die tafel nog niet heeft gehad, dan is het nog niet doorgedrongen. Dan is dit gesprek belangrijker dan de volgende tafel oefenen, want het scheelt de rest van het jaar de helft van het werk.
Bij optellen werkt het net zo
De omwisseleigenschap geldt niet alleen bij keersommen. Ook bij optellen mag je de getallen omdraaien: 3 plus 8 en 8 plus 3 zijn allebei 11.
Dat levert in groep 3 al winst op, en op een manier die kinderen niet vanzelf zien. Bij 3 plus 8 beginnen ze bij de 3 en tellen er acht bij: negen stappen tellen. Bij 8 plus 3 zijn het er maar drie.
Leer je kind daarom altijd met het grootste getal te beginnen. Dat heet doortellen vanaf het grootste, en het is een van de eerste rekenstrategieën die een kind kan gebruiken.
Hetzelfde idee, twee bewerkingen, twee jaar uit elkaar. Als je het in groep 3 bij het optellen benoemt, herkent je kind het in groep 5 bij de tafels meteen terug.
Veelgestelde vragen
Wat zijn omkeersommen?
Twee keersommen met dezelfde getallen in omgekeerde volgorde, zoals 7 keer 8 en 8 keer 7. Ze hebben altijd dezelfde uitkomst. Op school heten ze ook wel wisselsommen of de omwisseleigenschap.
Waarom mag je een keersom omdraaien?
Omdat het om dezelfde hoeveelheid gaat, alleen anders neergelegd. Zeven rijen van acht blokjes worden acht rijen van zeven als je het rooster een kwartslag draait, zonder dat er een blokje bij komt of af gaat.
Geldt dit ook bij min- en deelsommen?
Nee. Bij optellen en vermenigvuldigen mag je omdraaien, bij aftrekken en delen niet. 12 min 5 is iets anders dan 5 min 12. Bij delen bestaat wel een verband met de tafels: 42 gedeeld door 6 is de vraag zes keer wat is 42.
Hoeveel tafelsommen hoeft mijn kind dan echt te leren?
Van de honderd sommen blijven er via de omkeersommen vijfenvijftig over. Haal je daar ook de tafels met een duidelijk patroon vanaf, zoals 1, 2, 5 en 10, dan blijven er ongeveer zeventien sommen over die je kind echt uit het hoofd moet leren.